公式速查
中学到大学常用公式，注明适用条件与判别式。
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一元二次方程求根公式x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a —— 适用 ax²+bx+c=0（a≠0）。判别式 Δ=b²-4ac：Δ>0 有两个不等实根，Δ=0 有两个相等实根，Δ<0 无实根（有共轭复根）。公式速查完全平方公式(a ± b)² = a² ± 2ab + b² —— 常用于配方与因式分解。逆用即配方：a²+2ab+b²=(a+b)²。公式速查平方差公式a² - b² = (a + b)(a - b) —— 因式分解与有理化常用。例如 √a - √b 的分子分母同乘 (√a+√b) 就用到它。公式速查等差数列通项与求和aₙ = a₁ + (n-1)d；Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 —— 适用于相邻两项差为常数 d 的数列。求和公式也可写成 Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2。公式速查等比数列通项与求和aₙ = a₁qⁿ⁻¹；Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q) (q≠1) —— 公比 q≠1 时用第二个式子；q=1 时 Sₙ = na₁。注意分母 1-q 不能为零。公式速查勾股定理a² + b² = c² —— 只在直角三角形中成立，c 为斜边。逆定理也成立：若三边满足该式，则这个三角形是直角三角形。公式速查三角形面积公式S = ½ × 底 × 高 = ½ab·sinC —— 第一个用底和高；第二个用两边及其夹角，适用于不便于求高的情况。公式速查正弦定理a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R —— R 为外接圆半径。已知两角一边，或已知两边及其中一边的对角时使用。公式速查余弦定理c² = a² + b² - 2ab·cosC —— 已知两边及夹角求第三边，或已知三边求角。当 C=90° 时退化为勾股定理。公式速查圆的面积与周长S = πr²，C = 2πr —— r 为半径。扇形面积 S = ½lr（l 为弧长）或 S = ½r²θ（θ 为弧度）。公式速查两点间距离公式d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) —— 由勾股定理推出。中点坐标为 ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)。公式速查直线斜率公式k = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) —— 适用于 x₁≠x₂。垂直于 x 轴的直线斜率不存在。两条直线平行则 k₁=k₂，垂直则 k₁k₂=-1。公式速查球的表面积与体积S = 4πr²，V = (4/3)πr³ —— r 为球半径。圆柱体积 V=πr²h，圆锥体积 V=(1/3)πr²h。公式速查对数运算律log(MN) = logM + logN；log(M/N) = logM - logN；log Mⁿ = n·logM —— 前提是底数大于 0 且不等于 1，真数大于 0。换底公式：logₐb = log_c b / log_c a。公式速查指数运算律aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ；(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ；(ab)ⁿ = aⁿbⁿ —— a>0 时对任意实数指数成立。a⁰=1（a≠0），a⁻ⁿ = 1/aⁿ。公式速查排列组合公式A(n,m) = n!/(n-m)!；C(n,m) = n!/(m!(n-m)!) —— 排列讲顺序，组合不讲顺序。常用性质：C(n,m)=C(n,n-m)；C(n,0)=1。公式速查二项式定理(a+b)ⁿ = Σ C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ —— 展开共 n+1 项，第 k+1 项系数为 C(n,k)。中间项系数最大（n 为偶数时）。公式速查平均数与方差x̄ = Σxᵢ/n；s² = Σ(xᵢ-x̄)²/n —— 方差衡量数据的离散程度，标准差 s = √s²。方差越大说明数据越分散。公式速查古典概型概率P(A) = A 包含的基本事件数 / 基本事件总数 —— 前提是每个基本事件等可能。互斥事件相加：P(A∪B)=P(A)+P(B)；独立事件相乘：P(AB)=P(A)P(B)。公式速查导数的几何意义f'(x₀) = 曲线在 x₀ 处切线的斜率 —— 切线方程：y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)。常用导数：(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹，(sinx)'=cosx，(eˣ)'=eˣ，(lnx)'=1/x。公式速查牛顿第二定律F = ma —— F 为合力（N），m 为质量（kg），a 为加速度（m/s²）。只适用于惯性参考系和宏观低速情形。公式速查匀速直线运动s = vt；v = v₀ + at；s = v₀t + ½at² —— 第三个式子用于匀变速直线运动。自由落体是初速为 0、加速度为 g 的特例。公式速查功与功率W = Fs·cosθ；P = W/t = Fv —— θ 为力与位移的夹角；夹角为 90° 时不做功。额定功率下 P=Fv，速度越大牵引力越小。公式速查欧姆定律I = U/R —— I 为电流（A）、U 为电压（V）、R 为电阻（Ω）。只适用于纯电阻电路；串联分压、并联分流。公式速查