公式速查
中學到大學常用公式，註明適用條件與判別式。
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一元二次方程求根公式x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a —— 適用 ax²+bx+c=0（a≠0）。判別式 Δ=b²-4ac：Δ>0 有兩個不等實根，Δ=0 有兩個相等實根，Δ<0 無實根（有共軛復根）。公式速查完全平方公式(a ± b)² = a² ± 2ab + b² —— 常用於配方與因式分解。逆用即配方：a²+2ab+b²=(a+b)²。公式速查平方差公式a² - b² = (a + b)(a - b) —— 因式分解與有理化常用。例如 √a - √b 的分子分母同乘 (√a+√b) 就用到它。公式速查等差數列通項與求和aₙ = a₁ + (n-1)d；Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 —— 適用於相鄰兩項差為常數 d 的數列。求和公式也可寫成 Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2。公式速查等比數列通項與求和aₙ = a₁qⁿ⁻¹；Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q) (q≠1) —— 公比 q≠1 時用第二個式子；q=1 時 Sₙ = na₁。注意分母 1-q 不能為零。公式速查勾股定理a² + b² = c² —— 只在直角三角形中成立，c 為斜邊。逆定理也成立：若三邊滿足該式，則這個三角形是直角三角形。公式速查三角形面積公式S = ½ × 底 × 高 = ½ab·sinC —— 第一個用底和高；第二個用兩邊及其夾角，適用於不便於求高的情況。公式速查正弦定理a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R —— R 為外接圓半徑。已知兩角一邊，或已知兩邊及其中一邊的對角時使用。公式速查餘弦定理c² = a² + b² - 2ab·cosC —— 已知兩邊及夾角求第三邊，或已知三邊求角。當 C=90° 時退化為勾股定理。公式速查圓的面積與周長S = πr²，C = 2πr —— r 為半徑。扇形面積 S = ½lr（l 為弧長）或 S = ½r²θ（θ 為弧度）。公式速查兩點間距離公式d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) —— 由勾股定理推出。中點坐標為 ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)。公式速查直線斜率公式k = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) —— 適用於 x₁≠x₂。垂直於 x 軸的直線斜率不存在。兩條直線平行則 k₁=k₂，垂直則 k₁k₂=-1。公式速查球的表面積與體積S = 4πr²，V = (4/3)πr³ —— r 為球半徑。圓柱體積 V=πr²h，圓錐體積 V=(1/3)πr²h。公式速查對數運算律log(MN) = logM + logN；log(M/N) = logM - logN；log Mⁿ = n·logM —— 前提是底數大於 0 且不等於 1，真數大於 0。換底公式：logₐb = log_c b / log_c a。公式速查指數運算律aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ；(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ；(ab)ⁿ = aⁿbⁿ —— a>0 時對任意實數指數成立。a⁰=1（a≠0），a⁻ⁿ = 1/aⁿ。公式速查排列組合公式A(n,m) = n!/(n-m)!；C(n,m) = n!/(m!(n-m)!) —— 排列講順序，組合不講順序。常用性質：C(n,m)=C(n,n-m)；C(n,0)=1。公式速查二項式定理(a+b)ⁿ = Σ C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ —— 展開共 n+1 項，第 k+1 項係數為 C(n,k)。中間項係數最大（n 為偶數時）。公式速查平均數與方差x̄ = Σxᵢ/n；s² = Σ(xᵢ-x̄)²/n —— 方差衡量數據的離散程度，標準差 s = √s²。方差越大說明數據越分散。公式速查古典概型概率P(A) = A 包含的基本事件数 / 基本事件总数 —— 前提是每個基本事件等可能。互斥事件相加：P(A∪B)=P(A)+P(B)；獨立事件相乘：P(AB)=P(A)P(B)。公式速查導數的幾何意義f'(x₀) = 曲线在 x₀ 处切线的斜率 —— 切線方程：y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)。常用導數：(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹，(sinx)'=cosx，(eˣ)'=eˣ，(lnx)'=1/x。公式速查牛頓第二定律F = ma —— F 為合力（N），m 為質量（kg），a 為加速度（m/s²）。只適用於慣性參考系和宏觀低速情形。公式速查勻速直線運動s = vt；v = v₀ + at；s = v₀t + ½at² —— 第三個式子用於勻變速直線運動。自由落體是初速為 0、加速度為 g 的特例。公式速查功與功率W = Fs·cosθ；P = W/t = Fv —— θ 為力與位移的夾角；夾角為 90° 時不做功。額定功率下 P=Fv，速度越大牽引力越小。公式速查歐姆定律I = U/R —— I 為電流（A）、U 為電壓（V）、R 為電阻（Ω）。只適用於純電阻電路；串聯分壓、並聯分流。公式速查